[전기자기학] 전계의 특수 해법 및 전류

전기영상법

 

▶  전기영상법이란?

- 전하가 1개만 존재하여 쿨롱의 힘을 직접 구하지 못하는 경우에 사용.

  ◇ 쿨롱의 법칙 : $F=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{r^{2}}N]=9\times 10^{9}\cdot \frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}$

- 임의의 가상전하를 놓고 해석

- 가상전하(영상전하)는 실제전하와 극성이 항상 반대임.

 

 

▶ 전기 영상법 6가지

 

1. 무한평면(=대지=기준) 과 과 점전하

1) 점전하 Q[C]에 대한 영상전하 -Q[C]이다.

    영상전하수 = $\frac{360}{\theta }-1$ 개 이다.

2) 작용력(흡인력)  $F=\frac{Q\times(-Q)}{4\pi\varepsilon_{0}(2d)^{2}}=\frac{-Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}d^{2}}[N]$

3) 무한평면 임의점전위  $V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}+\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}=0[V]$

4) $E_{1}=E_{2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}d^{2}}[v/m]$ 인 원점에 전계 세기

    $E=E_{1}+E_{2}= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}d^{2}}\times2= \frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}d^{2}}[v/m]$

5) 원점에서 전하밀도 = 최대유기 전하밀도

     $D_{max}=\sigma_{max}=-\varepsilon_{0}E=-\frac{Q}{2\pi d^{2}}[c/m^{2}]$

 

 

2. 직교도체 평면과 점전하

- 직교도체($\theta=90^{\circ}$) 평면과 점전하 사이에 영상전하수 = $\frac{360}{90}-1=3$개

 

3. 접지구 도체와 점전하

- 접지된 구도체와 점전하간에 작용하는 힘은 항상 흡인력이 작용된다.

- 반지름 a[m]인 접지구 도체와 점전하 사이에 영상전하 1개

   $\therefore$ 영상전하 $P'=-\frac{a}{d}Q[C]$

   표피효과두께($\delta $) = $\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu \sigma }}$

 

   - f=주파수 / $\mu $=투자율 / $\sigma $=도전율

 

 - f,$\mu $,$\sigma $ 증가, $\delta $값 감소, 표피효과 증가(크다)

 - f,$\mu $,$\sigma $ 감소, $\delta $값 증가, 표피효과 감소(작다)

 

4. 구도체가 부착된 무한평면과 점전하

- 구도체가 부착된 무한평면과 점전하 사이에 영상전하수 3개

 

$P'=-Q$, $P''=-\frac{a}{d}Q$, $P'''=\frac{a}{d}Q$ 이다.

 

5. 유전체구와 점전하

- 유전율 $\varepsilon_{1}[F/m]$, $\varepsilon_{2}[F/m]$인 유전체구와 점전하 사이에 영상전하수 2개

 

$P'=\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}} {\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}q$, $P''=\frac{2\varepsilon_{2}} {\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}q$

 

$F$(작용력)=$\frac{\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}q^{2}}{4\pi \varepsilon_{1}(2r)^{2}}$

 

6. 구형기포

 

전계 세기 : $E'=\frac{3\varepsilon_{1}}{2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}E_{0}[v/m]$

 

분극 세기 : $P'=\frac{3\varepsilon_{1}(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1})}{2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}E_{0}[c/m^{2}]$

 

전속 밀도 : $D'= \frac{3\varepsilon_{2}}{2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}D_{0}[c/m^{2}]$

 

 

전류에 관련된 제현상

 

1. 전류와 전류밀도

1) 전류란?

- 공간적 개념 없이 점(0차원), 선(1차원)을 통해 전하가 흐른다는 시간 위주의 개념.

- 단위시간에 이동도히는 전기량

- 전류 : $I=\frac{Q}{t}[c/sec]=[A]$

- 전기량 : $Q=It[C]$

- 자유전자수 : $N=\frac{Q}{e}[EA]$

- $\therefore$ $1[C]=\frac{1}{1.602\times10^{-19}}\fallingdotseq6.25\times 10^{18}$

 

 

2) 전류 밀도란?

- 2차원, 3차원 공간을 통해 전하가 흐르는 개념.

- 전류밀도 J : 단위 시간 당 단위 면적을 통과하는 순 전하 흐름.

- 전류밀도 : $i=i_{c}+i_{d}=KE+\frac{ \partial D}{ \partial t}[A/m^{2}]$

- 전도 전류 : $i_{c}$

   - 도체 내에 흐르는 전류

   - 자유전자 이동에 의한 전류

   - 옴법칙 미분형 : 자유전자수 $n=\frac{Q}{e}$,  전자의 이동도$\mu=\frac{V}{E}$

 - 변위 전류 : $i_{d}$

   - 도체 외에 흐르는 전류

   - 구속전자 변위에 의한 전류

   - 전속밀도의 시간적인 변화에 의한 전류

 

2. 옴의 법칙

출처 : Digikey

 

 

3. 키르히호프 법칙

1) 키르히호프 제 1법칙 (전류법칙)

- 연속성이다.

- 마디 전압을 구하는 식이다.

- 마디 중심에 들어가는 전류는 밖으로 나가는 전류와 서로 같다.

- 전류가 흐르는 분기점에서의 전류의 합은 0이다.

- 도선망(회로)안에서 전류의 대수적 합은 0이다.

 

2) 키르히호프 제 2법칙 (전압법칙)

- 폐회로 전류(망전류)를 구하는 식이다.

- 폐회로에서 기전력의 합은 전압강하의 힘과 서로 같다.

- 폐회로의 루프안 전압의 합은 0이다.

- 폐회로에 인가된 전원의 합과 분배된 전위의 차의 합은 그 루프 안에서 등가한다.

- 하나의 루프 안에서 도체에 인가된 전압의 대수의 합과 공급된 전압의 합은 같다.

 

4. 중첩의 원리

- 고정적인 전압/전류원이 둘 이상일 경우 하나만 남겨놨다고 가정하였을 때, 각 지점에서의 전압/전류의 값들의 총 합은 원래의 회로의 전압/전류의 값이 된다.

- 전압원 계산 시 전류원은 Open(개방) 상태로 보고 계산한다.

- 전류원 계산 시 전압원은 Short(단락) 상태로 보고 계산한다.

 

5. 상반(가역) 정리

- 단일 전원에서 적용되는 정리.

- 어떤 회로의 임의의 분기점 P에 기전력 E를 인가하였을 때 다른 분기점 Q에 흐르는 전류가 $I_{Q}$이고, 반대로 같은 기전력 E를 분기점 Q에 인가하였을 때 P점에 흐르는 전류가 $I_{P}$일 때 $I_{P}$와 $I_{Q}$가 같으면 성립하는 정리.

 

6. 등가 전원 정리

1) 테브난 정리

- 2개의 독립된 회로망을 접속하였을 때의 전압, 전류, 임피던스의 관계를 나타내는 정리

- 임의의 선형 2단자 회로망은 테브난 전압원 $V_{TH}$와 테브난 저항 $R_{TH}$를 직렬연결한 등가회로로 대체할 수 있다.

- 부하저항과 연결된 복잡한 회로가 있을 때, 부하저항을 제외한 나머지 회로를 하나의 전압원과 저항으로 바꾸는 기술.

- $V_{TH}$ 는 부하저항을 개방한 상태에서 부하 양단에 걸리는 전압.

- $R_{TH}$ 는 회로에서 전압원을 단락시키고, 부하쪽에서 회로쪽을 바라본 저항.

 

2) 노튼의 정리

- 임의의 선형 2단자 회로망을 노턴의 등가전류원 $I_{N}$과 노턴의 등가저항 $R_{N}$을 병렬로 연결한 등가회로로 대체할 수 있다.

- 부하저항을 없애고, 그 자리를 단락시킨다. 이 단락된 곳에 흐르는 전류를 계산하면 그 전류가 노턴의 등가전류인 $I_{N}$이 된다. 

- 부하저항 $R_{L}$을 제거하고, 회로쪽을 바라본 저항이 노턴의 등가저항 $R_{N}$인데, 이것은 테브난의 등가저항 $R_{TH}$와 같은 방법으로 구하면 된다.

 

3) 밀만의 정리

- 내부저항을 갖는 여러개의 전압원이 병렬로 연결된 경우에 하나의 전압원 혹은 등가 전류원으로 바꾸거나 임의의 두 점 사이의 전압을 구하는데 유용한 정리.

 

 

 

예제문제

 

Q. 평면도체 표면에서 d[m]의 거리에 점전하 Q[C] 가 있을 때 전하를 무한 원점까지 운반하는데 필요한 일은 몇 [J]인가?   3

1. $\frac{Q^{2}}{4\pi \varepsilon_{0}d}$

2. $\frac{Q^{2}}{8\pi \varepsilon_{0}d}$

3. $\frac{Q^{2}}{16\pi \varepsilon_{0}d}$

4. $\frac{Q^{2}}{2\pi \varepsilon_{0}d}$

 

Q. 키르히호프 법칙에 대한 설명 중 옳지 않은 것?    3

1. 폐회로의 루프안 전압의 합은 0이다.

2. 전류가 흐르는 분기점에서의 전류의 합은 0이다.

3. 고정적인 전압/전류원이 둘 이상일 경우 사용한다.

4. 폐회로에서 기전력의 합은 전압강하의 힘과 서로 같다